Deduktiivinen argumentointi 3-6

3 Eukleideen geometria 4 Aristoteleen logiikka & 5 Noin 200 muuta syllogismia & 6 Sherlock Holmesin deduktio (s. 32-37)

”Eukleideen geometrian perusaineksia eli lähtökohtia olivat aksioomat, postulaatit ja määritelmät. Määritelmät kertovat millaisia geometriset oliot ovat. - - Aksioomat ovat yleisiä periaatteita, jotka pätevät geometrian lisäksi muuallakin. Eukleideen kaikki viisi aksioomaa koskevat yhtäläisyyden (yhtäsuuruuden, samuuden) käsitettä - - : jos A = C ja B = C, niin myös A = B. Toisen mukaan jos A = B, niin myös A + C = B + C. Kolmas sanoo: jos A = B, niin myös A ‐ C = B ‐ C. Neljäs: toistensa kanssa yhtyvät (kuviot) ovat yhtä suuret. Viides: kokonaisuus on osaansa suurempi. Postulaatit ovat muuten kuin aksioomia mutta ne pätevät vain geometriassa.” (s. 32-33)

[Mitä tulee tähän ajatukseen, että kokonaisuus on osaansa suurempi, se on yksi systeemiteorian perusajatuksista. Onko systeemiteorian joidenkin ajatusten perusta siis Eukleideen geometriassa?]

Näistä lähtökohdista Eukleides onnistui johtamaan kaikki geometrian totuudet joista osa on sittemmin kyseenalaistettu. Ne kuitenkin olivat edellytys uuden matematiikan alueen synnylle. (s. 32-33)

Aristoteles onnistui logiikassaan kirjassaan Ensimmäinen analytiikka ”tarjoamaan vastaavan asian kuin Eukleides geometriassa: esittämään pätevien ja epäpätevien päättelyiden erottelukriteerin.” Aristoteles tutki logiikassaan päättelyitä, joita nykyisin kutsutaan syllogismeiksi. ”Syllogismissa on aina kolme lausetta, joista kaksi on lähtökohtaa eli premissiä ja kolmas on johtopäätös. Näissä kolmessa lauseessa esiintyy kolme termiä eli käsitettä S, M ja P - - jotka voivat liittyä toisiinsa neljällä tavalla, joiden ilmaisemiseksi käytetään kirjaimia a, i, o ja e:

a = “kaikki” esimerkiksi SaP = “kaikki S ovat P”,
i = “jotkut” esimerkiksi MiP = “jotkut M ovat P”,
o = “jotkut eivät”, esimerkiksi SoM = “jotkut S eivät ole M”,
e = “eivät mitkään”, esimerkiksi MeP = “mitkään M eivät ole P”.

Kaikki syllogistiset päättelyt ovat siis yleistä muotoa:

M __ P
S __ M
------
S __ P

Tässä yleisessä kaavassa jokaisessa viivan paikalle kirjoitetaan jokin neljästä kirjaimesta a, i, o tai e. Mahdollisuuksia on siis 4 x 4 x 4 eli 64. Ja kun vielä termien järjestys voi muuttua - - mahdollisia erilaisia syllogismeja on todella paljon (3 x 64 = 192). Kuitenkin vain murto‐osa (alle 10 %) niistä on loogisesti päteviä eli totuuden säilyttäviä.”(s. 35)

"Aristoteleen ansio on siinä, että hän kehitti puhtaasti formaalisen (päättelyn rakennetta koskevan) testin, jonka avulla voitiin ottaa selville, onko jokin syllogistinen päättely pätevä vai ei. Tämä testi pelkistyy muutamaan sääntöön. - - Keskiajalla pätevät syllogismikaavat opeteltiin ulkoa käyttämällä nimiä, joissa esiintyvät vokaalit vastasivat jotain syllogismia: Esimerkiksi “Barbara” oli päättelyn “SaM, MaP, siis SaP” nimi. Päättelyä “SaM, MoP, siis SoP” kutsuttiin nimellä “Baroco”. Muita päteviä päättelyjä ovat mm. Celarent, Darii, Ferio, Cesare, Camestres, Darapti, Datisi, Bamalip ja Fetiso.”(s. 36)

”Aristoteleen logiikka oli ensimmäinen aksiomaattinen systeemi, ja se toimi esikuvana Eukleideelle tämän aksiomatisoidessa geometriaa. Aristoteleen logiikka ja Eukleideen geometria ovat taas yhdessä tarjonneet jälkimaailmalle mallin siitä, millaista tieteen pitäisi olla.” (s. 36)

”Vaikka Sherlock Holmes kutsuukin päättelyitään “deduktioiksi”, ani harvat niistä ovat sellaisia.” (s. 36) Kappaleessa on kuvattu ”aito deduktiivinen päättely kertomuksesta “Silver Blaze”.” En kopioi Sherlock Holmesin ja Scotland Yardin etsivän keskustelua tähän.

Päättely ”on deduktiivista, koska se voidaan esittää pätevän loogisen kaavan muodossa.” Tämän jälkeen keskustelun looginen rakenne on purettu osiin ja analysoitu vielä tarkemmin jossa sen on huomattu sisältävän ”rakenteellisesti kaksi samanlaista osapäättelyä, jotka ovat molemmat loogisesti pätevää muotoa modus tollens eli “((P ‐>Q) & ei‐Q) ‐> ei‐P” (s. 36-37)

”Siksi Holmesin päättelyn voisi halutessaan esittää myös seuraavassa muodossa:
1 A => B
2 ei‐B
‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ [MT]
3 ei‐A
4 C => A
3 ei‐A
‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐[MT]
5 ei‐C

Koska Holmesin päättelyssään kahdesti käyttämä modus tollens on pätevä kaava, voidaan sanoa, että hänen päättelynsä on deduktiivista.” (s. 37)


(Seppo Sajama: Logiikka ja argumentaatio 2012)