René Descartes: Järjen käyttöohjeet. Säännöt XV -XXI

Sääntö XV

”Näiden kuvioiden piirtäminen ja esittäminen ulkoisille aisteille auttaa meitä yleensä pitämään ajatuksemme keskittyneinä.” (s. 104)

Piirrämme yksikön kolmella tavalla: neliönä, jos otamme siinä huomioon vain pituuden ja leveyden; viivana, jos otamme huomioon vain pituuden; pisteenä, jos otamme huomioon vain sen että se on lukumäärän osatekijä. Jos tarkasteltavana on kaksi suuretta yhtä aikaa, väitelauseen termit kuvitellaan suorakulmiona, jonka kaksi sivua vastaavat kahta suuretta. Jne. Tarkoitamme aina kohdetta, joka on kaikin tavoin ulottuvainen ja joka on mahdollista mitata lukemattomin eri tavoin. (s. 104)

Sääntö XVI

”Ne seikat, jotka eivät vaadi mielen välitöntä keskittymistä mutta ovat johtopäätöksen kannalta välttämättömiä, on parempi esittää lyhyesti merkeillä kuin kokonaisina kuvioina. Näin muisti ei voi pettää, mutta samalla ajatus voi paneutua tekemään päätelmiä muista asioista, ilman että sen tarvitsee keskittyä näiden muistissa säilyttämiseen.” (s. 105)

Kirjoitamme paperille ”kaiken mikä on tarpeen säilyttää, ja vapautamme näin fantasiamme välittömille ideoille.” ”Jokainen seikka, joka on ongelmaa ratkaistaessa katsottava yhdeksi asiaksi, merkitään yhdellä ainoalla merkillä.” Relaatioiden luvulla tarkoitetaan sitä, ”kuinka monta suhdetta seuraa toisiaan jatkuvassa peräkkäisessä järjestyksessä”.

Kun ”olemme tutkineet ongelmaa yleisin termein ilmaistuna, meidän on seuraavaksi palautettava se annetuiksi luvuiksi nähdäksemme, tarjoutuuko meille ehkä tätä kautta jokin yksinkertaisempi ratkaisu”. Tämän ”huomaamisessa piilee varsinainen tieteellinen tieto”. (s. 105-108)

Sääntö XVII

”Tarkasteltavaksi otettu ongelma on käytävä suoraan läpi huolimatta siitä, että sen toiset termit tunnetaan mutta toisia ei. Oikeaa esitystapaa noudattaen nähdään tällöin intuitiivisesti termien keskinäinen riippuvuus.” (s. 108)
Määriteltyjen ja täydellisesti ymmärrettyjen ongelmien jokainen tekijä muutetaan abstraktiksi ja ongelmat pelkistetään niin, että loppujen lopulta kysytään vain muutamia sellaisia suureita, jotka ovat tietyssä suhteessa joihinkin annettuihin suureisiin.

Jokaisessa ”kysymyksessä, jonka ratkaisu on pääteltävissä, voidaan löytää suora ja sileä tie”. Jos jokainen väittämä on yhteydessä vierustoveriinsa, niistä muodostuu ketju. ”Jos näemme, että väittämät ovat riippuvaisia toisistaan eikä järjestys katkea missään, ja tästä päättelemme, millä tavoin viimeinen on ensimmäisestä riippuvainen, niin tutkimme ongelmaa suoraan. Mutta jos taas tiedämme varmasti, että ensimmäinen ja viimeinen ovat toisiinsa yhteydessä ja tahdomme siitä päätellä, millaiset niitä yhdistävät, niin noudatamme epäsuoraa ja takaperoista järjestystä.” Tällöin olemme tekemisissä ”hankalien kysymysten kanssa ja tehtävänä on saada äärimmäisten tekijöiden avulla selville niitä yhdistävät tekijät”.

Käyttämämme ”keino on se, että olettamalla tuntemattomat tekijät tunnetuiksi voimme hankkia itsellemme helpon ja suoran reitin jopa erityisen kiperiä ongelmia käsitellessämme”. (s. 108-109)

Sääntö XVIII

”Tarvitsemme tähän vain neljä laskutapaa: yhteenlaskun, vähennyslaskun, kertolaskun ja jakolaskun. Kahta jälkimmäistä ei tässä yleensä suoriteta, jotta ne eivät vaikeuttaisi asioita; ne on sitä paitsi helpompi suorittaa loppuun myöhemmin.” (s. 110)

”Jos saamme jonkin suureen selville siitä, että meillä on osat, joista se koostuu, kyseessä on yhteenlasku. Jos tunnistamme osan siitä, että tunnemme kokonaisuuden ja sen ylimäärän, joka kokonaisuudessa ylittää tuon osan, kyseessä on vähennyslasku. Muulla tavoin ei mitään suuretta voida päätellä toisista, joita pidetään riippumattomina ja joihin se jollakin tavalla sisältyy. Toisaalta, jos jokin suure pitää saada selville toisista, jotka ovat siitä täysin erillisiä ja joihin se ei millään tavoin sisälly, niin on välttämätöntä, että etsitty suure ensin suhteutetaan näihin toisiin jotenkin. Jos suure on suoraan verrannollinen, käytetään kertolaskua; jos taas kääntäen, niin jakolaskua.” (s. 110)

Yksikkö on tässä kaikkien relaatioiden pohja ja perusta. (s. 110-114)

Sääntö XIX

”Tätä järkeilyn metodia käyttäen etsitään yhtä monta kahdella eri tavalla ilmaistua suuretta kuin ongelmassamme on tuntemattomia termejä. Nämä taas oletetaan tunnetuiksi, jotta ongelma voidaan ratkaista suoraan. Näin saadaan yhtä monta vertailua kahden yhtäläisen tekijän välille.” (s.115)

Sääntö XX

”Keksittyämme yhtälöt suoritamme loppuun sivuuttamamme laskutoimitukset. Emme kuitenkaan käytä kertolaskua, milloin on tilaisuus käyttää jakolaskua”. (s. 115)

Sääntö XXI

”Jos tällaisia yhtälöitä saadaan useampia, ne on pelkistettävä yhdeksi ainoaksi yhtälöksi; nimittäin sellaiseksi, jonka termit varaavat vähiten asteita sarjassa suureita, joiden keskinäinen suhde on vakio. Termit sijoitetaan tämän sarjan mukaiseen järjestykseen.” (s. 115)