III DEDUKTIIVINEN ARGUMENTOINTI
1 Aksiomaattinen järjestelmä & 2 Hofstadterin MIU-järjestelmä (s. 30-32)
Logiikan synnyn voi ajoittaa Kreikkaan Platonin ja Aristoteleen aikoihin. Eukleideella ja Aristoteleella ei kuitenkaan ollut selvää käsitystä päättelysäännöistä vaan he käyttivät ”kaikkia intuitiivisesti hyväksyttäviltä tuntuvia päättelymalleja. Vasta David Hilbert teki asian selväksi 1900-luvulla.”(s. 30-31) Aksiomaattisessa järjestelmässä:
”(1) Joitakin lauseita pidetään tosina ilman todistusta. Näitä ovat lähtökohdat.
(2) Muut lauseet todistetaan eli johdetaan loogisesti lähtökohdista. Näitä ovat johtopäätökset.
(3) Johtamisessa käytetään vain ennalta ilmoitettuja päättelysääntöjä.” (s. 30)
”Aksiomaattisen järjestelmän hyöty on siinä, että se tiivistää suuren joukon käsityksiä (teoreemoja) johtamalla ne loogisesti pienestä joukosta lähtökohtia (aksioomia). Ruuanlaittovertausta käyttäen voisi sanoa, että aksiomaattinen järjestelmä tarjoaa yksinkertaiset perusainekset ja kertoo reseptin, jota noudattamalla noista perusaineksista voidaan tuottaa kaikki hyväksyttävät lopputuotteet. Valmiin aksiomaattisen järjestelmän avulla voidaan myös helposti testata, onko jokin ehdotettu tuote hyväksyttävä vai ei. Jos se on tehty sallituista aineksista annetun reseptin mukaan, se on hyväksyttävä; jos ei, niin ei. (s. 30)
”Amerikkalainen matemaatikko‐filosofi Douglas Hofstadter on esittänyt kirjassaan Gödel, Escher, Bach: An Eternal Golden Braid (1979) erittäin yksinkertaisen formaalisen järjestelmän, MIU:n, jolla on kuitenkin kaikki aksiomaattisen järjestelmän olennaiset ominaisuudet. Tässä sen säännöt:
Muodostussääntö:
Jokainen kirjaimista M, I ja U koostuva merkkijono hyvin muodostettu kaava (HMK).
[Muutossäännöt on selitetty myöhemmin yksinkertaisemmassa muodossa, olen lisännyt ne tähän.]
Muutossäännöt:
(S1) Jokaisen I:hin päättyvän HMK:n loppuun voi lisätä U:n.
Voit lisätä U:n sanan lopussa olevan I:n jälkeen.
(S2) Jokaisen HMK:n muotoa Mx voi muuttaa muotoon Mxx (jossa x on mikä tahansa HMK).
Voit kahdentaa minkä tahansa M:n jälkeen tulevan jonon.
(S3) Jos HMK:ssa esiintyy jono III, sen voi korvata U:lla.
Voit korvata sanassa olevan jonon III kirjaimella U.
(S4) Jos HMK:ssa esiintyy UU, sen voi poistaa.
Voit pyyhkiä pois sanassa olevan jonon UU.
Aksiooma:
Järjestelmässä on vain yksi aksiooma: MI. Muodostussäännön perusteella MIU, MUUMI, IMMU, MUU, IMIU ja MUMMI ovat MIU:n HMK:ita. Kokonaan toinen kysymys on, ovatko ne myös sen teoreemoja eli voidaanko ne todistaa MIU:n sääntöjen mukaisesti. (s. 31)
[Mitähän Tove Jansson sanoisi siihen, että Muumi onkin vain yksi Hofstadterin järjestelmän aksioomista. Entä minkälainen olisi Tove Janssonin aksiomaattinen järjestelmä Muumien todistamiseksi?]
"Hofstadterin - - keinotekoisessa systeemissä toteutuu aksiomaattisen järjestelmän idea: joukosta aksioomia johdetaan systeemiin kuuluvat teoreemat annettujen päättelysääntöjen avulla. Tässä yksinkertaisessa systeemissä aksioomia on vain yksi ja päättelysääntöjä (muunnos‐ eli transformaatiosääntöjä) on neljä. Jokaisesta hyvin muodostetusta lauseesta voidaan periaatteessa sanoa yksiselitteisesti, kuuluuko se systeemiin vai ei (eli todistuuko se tässä systeemissä vai ei). (s. 31-32)
[Systeemistä puhuttaessa mietin tässä yhteydessä systeemiteoriaa. Onko yleisemminkin niin, että jos jokin osa kuuluu systeemiin, se todistuu tässä systeemissä? Mitä tämä todistuminen tarkoittaisi esimerkiksi ihminen-ympäristö-systeemissä?]
(Seppo Sajama: Logiikka ja argumentaatio 2012)
Ei kommentteja:
Lähetä kommentti